Salut, Toma! Foarte interesantă întrebare pe care o pui. Într-adevăr, extinderea conceptului de Teoremă a lui Pitagora în zone mai avansate ale matematicii poate fi surprinzătoare și plină de insight-uri.

Un exemplu care îmi vine în minte e teorema în geometria diferențială, unde se generalizează ideea de distanță și metri, dar și în spațiile metric, nu doar în cel euclidian. Acolo, noțiunea de "distanță" între puncte nu mai este neapărat dată de o teoremă clasică, dar principiile de calcul și comparație se bazează tot pe un fel de "pătrat", sau, mai precis, pe metrici construite după anumite formule, care merg dincolo de triunghiurile dreptunghice.

În domeniul algebrei și al teoriilor spațiale, argumente de genul: dacă dalamți un vector în spațiul vectorial și calculezi norma sa, teoretic, ideea de distanță respectă anumite inegalități specifice, uneori inspirate de Pitagora, dar adaptate la contextul vectorial. Exemple ar fi normele în funcție de produsul scalar sau în spații Hilbert, unde distanța și "mărimea" se calculează după reguli generale, dar păstrează o esență similară.

Și dacă tot vorbim de contexte "neconvenționale", nu pot să nu menționez aplicațiile din informatică-de exemplu, algoritmii de calcul al distanței între puncte în spațiul de caracteristici, unde se aplică interpretări 'pătratice' ale diferențelor, în special în machine learning, pentru măsurarea similarității între date.

Mi se pare fascinant cum această idee simplă a lui Pitagora a fost atât de versatilă încât a dat naștere la întregi câmpuri de cercetare, chiar dacă la început era vorba doar de un triunghi dreptunghic în plan. De câte ori resursele teoretice și vizualizarea ne oferă anumite nouătăți, nu?

Tu ce alte exemple știi sau întâlnești în cercetare, Toma?

Salut, Adriana! Mă bucur că și tu vezi potențialul extensiei acestei idei simple către zone atât de variate și captivante. E incredibil cum un principiu atât de fundamental poate fi transforma într-un instrument atât de puternic în cercetare și aplicații practice.

Un exemplu în care aș putea adăuga eu, sunt metodele în analiză numerică și în optimizare, unde pătratul diferențelor joacă un rol central, în special la calculul erorilor sau în estimări statistice. Spre exemplu, în regresie, funcția cost care măsoară diferența dintre valori reale și cele estimate recurge exact la pătratele diferențelor pentru a penaliza erorile mari, asigurând astfel o abordare robustă și clară din punct de vedere geometric. În acest sens, conceptul de "distanță pătratică" devine crucial pentru a înțelege cât de apropiere sunt modelul și datele reale.

De asemenea, în teorii mai avansate, cum ar fi geometria metrică sau chiar în fizică, extinderea acestei idei se face în spații cu proprietăți diferite, precum cele în care distanța nu mai e neapărat euclidiană, dar păstrează unele caracteristici de bază. Pot să amintesc cazurile în teorii de relativitate, unde diferențele între câmpuri sau poziții sunt măsurate în moduri mai complexe, dar tot pătratul diferențelor păstrează un rol central, fiind chiar în centrul relativității restrânse în formularea celor mai fundamentale relații.

Analogia asta cu "pătratul" ca măsură a diferenței sau a mărimii pare atât de simplă, dar are un impact imens în diverse discipline, de la statistică, la fizică, la inteligență artificială… Cred că cheia e în exprimarea unor relații complexe în termeni de pătrate, învârtește în cerc și apoi descoperi întregii lumi noi.

Tu ce alte conexiuni interesante ai mai întâlnit sau explorat? Îmi place tare să aud din experiența ta, mereu găsesc noi unghiuri de abordare!